Question

اشرح مفهوم أنظمة الأعداد وتمثيل البيانات، مع التركيز على الأنظمة التالية: العشري، والثنائي، والثماني، والسادس عشري.

مفهوم أنظمة الأعداد.

منذ القدم، استخدم الإنسان النظام العشري في إجراء العمليات العددية والحسابية. ومع ظهور الحواسيب، ظهرت أنظمة أعداد مختلفة لإجراء العمليات الحسابية البسيطة والمعقدة داخل الحاسوب، بالإضافة إلى استخدامها في تمثيل البيانات المدخلة إلى الحاسوب، والتي تُحوّل إلى قيم عددية مكافئة في تلك الأنظمة.

سبق شرح مفهوم البيانات وأنواعها بشكل عام. ويمكن القول إن البيانات الرقمية تُصنف بدورها إلى بيانات رقمية وبيانات حرفية.

 • بيانات رقمية: هي قيم رقمية تتكون من سلسلة من الأرقام (٢٣٠٩، ٦٧٣): ٠، ١، ٢، على سبيل المثال: قيم رقمية...

• بيانات حرفية: هي قيم حرفية تتكون من سلسلة من الأحرف الرقمية والأبجدية (صغيرة وكبيرة)، على سبيل المثال: ٢٠٩، بالإضافة إلى رموز حرفية أخرى مثل...، @، ؟، #.

مثال

'المبنى ٥'، 'محمد'، '٢٢ مايو'

كما هو معروف، تُعالَج البيانات الرقمية أو الحرفية داخل الحاسوب بواسطة دوائر إلكترونية ووسائط تستخدم الرمزين الرقميين واحد وصفر (0.1) فقط.

ملاحظة:

يتم التمييز بين القيم الحرفية والعددية من خلال وجود علامة الاقتباس مع القيم الحرفية وغياب علامة الاقتباس مع القيم العددية.

مثال:

تُمَثَّل القيمة العددية 8 بدون علامة الاقتباس والقيمة الحرفية (8) المُحاطة بعلامة الاقتباس داخل الحاسوب بطرق مختلفة. يُمَثَّل الرقم 8 بسلسلة من رقمين (0.1)، بينما لا يُحوَّل الحرف داخل الحاسوب إلى قيمته العددية الثابتة المُكافئة.

توجد أنواع مختلفة من أنظمة الأعداد التي تستخدمها الحواسيب، مثل: النظام العشري، والنظام الثنائي، والنظام الثماني، والنظام السداسي عشر.

 بشكل عام، العناصر الأساسية لأنظمة الأرقام الحاسوبية هي:

الرموز الرقمية المستخدمة في النظام (الأرقام).

أساس النظام (الأساس).

القيمة الموضعية للرقم.

الوزن الرقمي.

تشير الرموز الرقمية المستخدمة في الأنظمة الرقمية إلى الأرقام داخل النظام التي تُشكل القيم الرقمية. على سبيل المثال، تتكون القيمة العددية العشرية 247 من الرموز الرقمية 2، 4، 7، والتي سيتم دراستها بالتفصيل لاحقًا.

للأرقام التي تُشكل قيمة عددية مواقع أو مواضع (تُسمى أحيانًا منازل) كما هو مستخدم في الرياضيات (خانة الآحاد، وخانة العشرات، وخانة المئات، إلخ). لكل موقع قيمة ثابتة، تبدأ من الصفر (0) للقيم الصحيحة وتتزايد بمقدار واحد إلى اليسار.

الأنظمة العددية

أولًا: النظام العشري

يُعد النظام العشري من أقدم الأنظمة التي استخدمها البشر لإجراء عمليات العد في حياتهم اليومية، بالإضافة إلى استخدامه في أجهزة الحاسوب.

 الأرقام المستخدمة في النظام العشري هي (9، 8، 7، 6، 5، 4، 3، 2، 1.0)، وعددها. العشرة (10)، والقيم العددية في النظام العشري هي سلسلة من هذه الرموز العددية.

أساس النظام العشري هو القيمة العددية (10)، وقيمة خانة الآحاد هي (0)، ووزن الرمز العددي في خانة الآحاد هو (10^{6}) مرفوعًا لقوة تساوي قيمة الرقم (صفر)، 10(10^{9})، والوزن العددي في خانة العشرات هو 10=(10^{1}).

الطريقة العامة لحساب القيمة العددية للأرقام في النظام العشري هي ضرب كل مكون عددي في وزنه، ثم جمع حاصل ضرب جميع المكونات العددية.

 

ثانيًا: النظام الثنائي

النظام الثنائي هو النظام الأساسي المستخدم لتمثيل البيانات داخل الحاسوب. يستخدم هذا النظام رقمين: صفر وواحد (1.0)، ولكل منهما بت (بت واحد). يمثل الرقم 1 حالة التشغيل، أي الجهد العالي، ويمثل الرقم 0 حالة الإيقاف، أي عدم وجود جهد في الدائرة الإلكترونية.

تُمثل القيم العددية في النظام الثنائي بسلسلة من الأرقام (1، 0).

لكل رقم مرتبة أو موقع، كما هو الحال في النظام العشري. ترتيب الأرقام من اليمين إلى اليسار هو: 5، 4، 3، 2، 1، 0، وهكذا، حسب قيمة العدد الصحيح في هذا النظام. بعد الرقم 2، يكون أساس النظام الثنائي هو الرقم.

كما ذكرنا سابقًا، يُعد النظام العشري النظام الأكثر استخدامًا في الحسابات اليومية، سواءً باستخدام الآلات الحاسبة الإلكترونية أو أجهزة الحاسوب. القيمة العددية (01001101) في النظام الثنائي تعادل القيمة العددية (77)_{10} في النظام العشري، كما هو موضح في الصيغة أدناه. ويتم الحصول عليها بطريقة مشابهة للنظام العشري، مع اختلاف القيمة الأساسية في النظامين.

نظراً لأهمية النظام الثنائي في الحواسيب، سنتعرف لاحقاً على بعض العمليات الحسابية فيه.

Answer 1

ثالثاً: النظام الثماني

النظام الثماني هو أحد أنظمة العد المستخدمة في الحواسيب. الأرقام المستخدمة في هذا النظام هي: (7، 6، 5، 4، 3، 2، 1.0)، وعددها ثمانية. أساس هذا النظام هو الرقم 8، والقيمة العددية في النظام الثماني هي سلسلة من الأرقام المستخدمة فيه.

تُحدد قيمة الأرقام في هذا النظام بنفس طريقة تحديد أوزان كل رقم يُكوّن القيمة العددية في هذا النظام.

ملاحظة:

القيمة العددية 8 (5864) غير صحيحة في النظام الثماني لأن الرقم 8 ليس من الأرقام المستخدمة في هذا النظام.

 

رابعًا: النظام السداسي العشري

النظام السداسي العشري هو أحد الأنظمة المستخدمة في الحواسيب، وهو مرتبط بالنظام الثنائي.

كما شرحنا سابقًا، تُسمى أنظمة العد بعدد الأرقام المستخدمة. ومن تسمية هذا النظام، نجد أن عدد الأرقام المستخدمة هو ستة عشر (16)، وهي: 9، 8، 7، 6، 5، 4، 3، 2، 1، 0، E، D، C، B، وA. وكما هو معروف، الأرقام التقليدية المستخدمة في النظام العشري هي: 9، 8، 7، 6، 5، 4، 3، 2، 1، 0. أُضيفت مجموعة من الأحرف الأبجدية: F، E، D، C، B، وA بدلاً من القيم العشرية (15، 14، 13، 12، 11، 10). يمثل الحرف A في النظام السداسي عشر القيمة ١٠.

يمثل الرمز الحرفي ٨ القيمة ١١.

يمثل الرمز الحرفي ١٢ القيمة ١٣.

يمثل الرمز الحرفي ٣ القيمة ١٤.

يمثل الرمز الحرفي ١٥ القيمة في النظام العشري.

على سبيل المثال، في النظام العشري: قيمة المُكوّن العددي في خانة الآحاد (صفر)، وقيمة المُكوّن العددي في خانة العشرات (واحد)، وقيمة المُكوّن العددي في خانة المئات (٢)، وهكذا.

يشير أساس النظام إلى القيمة العددية المُمثّلة بعدد الأرقام المُستخدمة فيه. لكل رمز عددي وزن، وهو قيمة أساس النظام مرفوعًا إلى القوة (الأس) التي تُمثّل قيمة الرقم (المنزلة). عدد الأرقام المُستخدمة في النظام العشري هو ١٠، وعدد الأرقام المُستخدمة في النظام الثنائي هو ٢، وعدد الأرقام المُستخدمة في النظام الثماني هو ٨، وهكذا.

لذلك، أساس النظام السداسي عشري هو القيمة العددية ١٦، وتُحدد قيمة الأرقام بنفس الطريقة المتبعة في الأنظمة الأخرى التي درستها. 

عمليات الجمع والطرح في النظام الثنائي

تتبع عمليات الجمع والطرح في النظام الثنائي نفس الطريقة المستخدمة في النظام العشري، ولكنها أبسط وأسهل من النظام العشري، لأننا نتعامل فقط مع الرقمين (٠، ١).

بما أن ١ + ١ = ٢(١٠)، يُكتب ٠ ويُنقل ١ إلى الرقم التالي (إن وُجد). عادةً، تُكتب النتيجة ١ + ١ = ١٠٢، حيث ١٠٢ يساوي ٢ في النظام العشري.

 

ملاحظة

في العمود الثالث من المثال السابق، نلاحظ جمع ثلاثة آحاد ثنائية (1+1+1). في هذه الحالة، يُفضّل إجراء عملية الجمع على خطوتين: 1+1 = 10، 1+10 = 11. هذا يعني أننا نكتب العدد في خانة الجمع، وننقل واحدًا إلى الخانة أو الرقم المجاور (هذه العملية تُشبه عملية الجمع في النظام العشري عند الجمع بالحمل).

الطرح الثنائي

طريقة الطرح في النظام الثنائي هي نفسها المستخدمة في النظام العشري، وفقًا للقواعد التالية:

يجب اقتراض الرقم 1 من الرقم المجاور التالي. يمكن اعتبار الرقم 0 10-1 = 1 بعد الاقتراض، لذا تكون النتيجة 0-1 = 1.

لاحظ أن الرقم المُقترض من الرقم المجاور يُحوَّل إلى قيمته الأساسية في هذه الحالة، تمامًا كما في النظام العشري.

ملاحظة

1. لاحظ أنه في عملية الطرح الثانية، اقترضنا مرتين، تمامًا كما في النظام العشري.

2. يمكنك استخدام آلة حاسبة علمية للتحقق من هذه العمليات: أو استخدام الآلة الحاسبة العلمية المُضمنة في برنامج نظام تشغيل ويندوز.